Iš tėvo gavęs pirmąsias muzikines žinias, 1937 m. pradėjo vargonininkauti Leliūnuose (Utenos r.), kartu lankė Konrado Kavecko vadovaujamus vargonininkų kursus Kaune. Vėliau kiek laiko vargonininkavo Vilijampolėje (Kaunas).

1940 m. įstojo į Kauno konservatoriją, kur vargonuoti mokėsi pas Zigmą Aleksandravičių ir kartu lankė suaugusiųjų gimnaziją. 1944–1948 m. vargonų studijas tęsė pas Nikodemą Martinonį, pas jį mokėsi ir chorvedybos meno.

Nuo 1948 m. B. Sližys buvo Šiaulių muzikos mokyklos choro dirigavimo ir kitų disciplinų dėstytojas, 1949–1953 ir 1967–1970 m. – moksleivių choro studijos vadovas. Chorą parengė Šiaulių miesto ir respublikinėms dainų šventėms, dalyvavo konkursuose ir koncertuose, išugdė visą būrį jaunųjų chorvedžių.

1948–1956 m. jis dirbo su Šiaulių medicinos mokyklos merginų choru ir vokaliniais ansambliais. Chorą parengė 1950 ir 1955 m. respublikinėms dainų šventėms, dalyvavo koncertuose. Buvo daugelio Šiaulių miesto mėgėjų chorų vadovas: gamybinio susivienijimo "Elnias", medicinos darbuotojų, statybos tresto, saldainių fabriko "Rūta", Juliaus Janonio vidurinės mokyklos, Pedagoginio instituto ir kitų.

Daugiau kaip 15 metų B. Sližys vadovavo Šiaulių pieno kombinato ir "Vairo" gamyklos jungtiniam mišriajam chorui. Kiekvienai miesto ir respublikinei dainų šventei parengdavo po 2-3 chorus, kurie konkursuose dažnai pelnydavo ir prizines vietas.

Pedagogas buvo Šiaulių miesto dainų švenčių organizatorius ir dirigentas, respublikinių dainų švenčių konsultantas.

Buvo vedęs, žmona Elena Sližienė (1919–2003). Sūnus Algimantas Eugenijus Sližys (1944–2019).

Mirė 1987 m. gruodžio 7 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Karveliškių kapinėse (56A sektorius, 5 eilė, 6 kapas). Kapą ženklina pilkas akmeninis paminklas su B. Sližio portretine nuotrauka ir šlifuotame fasade iškaltu tekstu: "Elena Sližienė / 1919–2003 / Bronius Sližys / 1920–1987". 

B. Sližio biografija publikuojama Boleslovo Zubricko enciklopediniame žinyne "Pasaulio lietuvių chorvedžiai" (1999 m.).