Tėvai: Jonas Tamošauskas (apie 1877 – ?) ir Scholatika Kasiulevičiūtė-Tamošauskienė (1884–?). Broliai ir sesuo: Jonas Tamošauskas (1907 – apie 1994), Ona Tamašauskaitė-Keliuotienė (1913–1997) – politinė kalinė, Kazimieras Tamašauskas (1915–1997) – laisvės gynėjas partizanas, politinis kalinys, Adolfas Tamošauskas.

1931–1937 m. baigė Kauno kunigų seminariją ir Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Teologijos skyrių.

1937 m. gegužės 22 d. Kauno arkikatedroje jis buvo įšventintas kunigu. Pirmąsias Šv. Mišias jis 1937 m. birželio 27 d. aukojo gimtosios Rozalimo parapijos bažnyčioje.

Paskirtas 1937 m. liepos 1 d., 1937–1940 m. jis tarnavo Šeduvos (Radviliškio r.) parapijoje vikaru, nuo 1940 m. vasaros buvo Krinčino (Pasvalio r.) parapijos vikaras.

Atvykęs 1945 m. 1945–1947 m. L. Tamošauskas buvo Burbiškio (Anykščių r.) Švč. Jėzaus Širdies parapijos klebonas – paskutinis dvasininkas, tarnavęs Burbiškio dvaro patalpose įrengtoje bažnyčioje.

1947–1949 m. jis tarnavo Onuškio (Rokiškio r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonu. Jis surinko istorines žinias, išanalizavo parapijos archyvo dokumentus ir parašė Onuškio parapijos istoriją.

Už paramą laisvės gynėjams partizanams Onuškyje 1949 m. balandžio 16 d. jis buvo suimtas, kalintas Rokiškyje ir Vilniuje. Ypatingasis pasitarimas 1949 m. rugpjūčio 6 d. nuteisė jį 10 metų laisvės atėmimo. 1949 m. spalį jis buvo išgabentas į Steplagą (Džezkazganas, Karagandos sritis, Kazachstanas). Kalinamas lageryje, slapta ant prasto popieriaus L. Tamošauskas rašė teologinius ir filosofinius apmąstymus, kuriuos išsaugojo ir vėliau plėtojo.

Išleistas į laisvę 1956 m. birželio 29 d., tą pačią vasarą jis grįžo į Lietuvą.

Apie 1956–1969 m. jis buvo Lukštų (Rokiškio r.) parapijos klebonas.

1969–2000 m., iki gyvenimo pabaigos, L. Tamošauskas tarnavo Avilių (Zarasų r.) Šv. Kryžiaus Išaukštinimo parapijos klebonu. Aviliuose jis savarankiškai tyrinėjo vietos legendą apie prasmegusią bažnyčią, pats atliko kasinėjimus ir rado senosios medinės bažnyčios likučius, pagrindžiančius legendą.

Nuo 1968 iki 1988 m. L. Tamošauskas rengė rankraštį "Harmonijos žodynas", kuriame sistemino kalbines, filosofines ir dvasines sąvokas. Jis paruošė vaikų bei jaunimo kalbamas Šv. Mišias, pritaikydamas liturginius tekstus vaikams suvokti. Jo filosofinė-teologinė studija "Žmogus", pradėta rašyti dar lageryje, ilgą laiką buvo platinama rankraščiais, tik vėliau buvo išleista kaip knyga (1998 m.).

Amžininkų prisiminimuose jis išliko kaip itin šviesi, inteligentiška, gilios vidinės kultūros asmenybė.

Mirė 2000 m. gruodžio 22 d. Aviliuose (Zarasų r.). Palaidotas Avilių bažnyčios šventoriuje.