Tėvai: Stasys Kaunietis (1923–2002) ir Veronika Kaunietienė (1926–1999) – žemdirbiai.

1972–1980 m. mokėsi Traupio (Anykščių r.) aštuonmetėje mokykloje, 1980–1983 m. baigė Raguvos (Panevėžio r.) vidurinę mokyklą. Nuo vaikystės patarnavo kunigui Steponui Galvydžiui Traupio Šv. Onos bažnyčioje, jo paskatintas ir pats apsisprendė tapti kunigu.

1983–1985 m. jis studijavo Lietuvos žemės ūkio akademijoje žemėtvarką. 1985–1987 m. R. Kaunietis atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje, tarnavo priešlėktuvinės gynybos dalinyje prie Leningrado (dabar – Sankt Peterburgas, Rusija). 1988–1993 m. jis baigė studijas Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

1993 m. gegužės 30 d. jis buvo įšventintas kunigu. 

1993 m. R. Kaunietis trumpai buvo vikaras Pakruojyje, paskui tarnavo vikaru Utenoje, buvo Vyžuonų (Utenos r.) parapijos administratorius.

1996–1999 m. R. Kaunietis dirbo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje. 1996–1997 m. jis buvo Panevėžio vyskupijos klierikų ugdytojas, 1997–1999 m. – Kauno kunigų seminarijos vicerektorius.

1999 m. atidarius kunigų seminariją Vilniuje ir ten perkėlus Panevėžio vyskupijos kunigų ruošimą, R. Kaunietis pasitraukė iš seminarijos ir 1999–2000 m. tarnavo Biržų Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonu.

2000–2006 m. R. Kaunietis buvo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas, kartu administravo ir Adomynės (Kupiškio r.) Švč. Mergelės Marijos vardo parapiją. Jis taip pat dėstė Rokiškio aukštesniojoje pedagoginėje mokykloje bažnyčios istoriją, prigimtinę teologiją, katechetiką ir pastoracinę teologiją.

Svėdasuose jis pasižymėjo nuoširdžiu bendravimu su parapijiečiais, išplėtojo kultūrinę parapijos veiklą, ugdė klierikus.

2006–2020 m. jis gyveno Panevėžyje, 2006–2017 m. buvo Panevėžio Švč. Trejybės rektorato rektoriaus sielovadinis bendradarbis vikaro teisėmis. 2014–2017 m. jis buvo Panevėžio pataisos namų kapelionas su užduotimi koordinuoti katalikų sielovadą šioje įstaigoje.

Paskirtas 2017 m. lapkričio 6 d., 2017–2020 m. R. Kaunietis buvo Panevėžio Kristaus Karaliaus katedros vikaras. 2019–2020 m. jis buvo ir Antano Bandzos socialinių paslaugų namų kapelionas.

Perkeltas 2020 m. rugsėjo 1 d., nuo 2020 m. jis yra Utenos Dievo Apvaizdos parapijos vikaras.

2008–2016 m. R. Kaunietis buvo Panevėžio vyskupijos kunigų tarybos narys, konsultorių kolegijos narys, dabar yra Vyskupijos kunigų tarybos narys.

Laisvalaikiu augina gėles, daugiausiai retus kaktusus, veisdavo retų veislių paukščius.